This is default featured slide 1 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured slide 2 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured slide 3 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured slide 4 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

This is default featured slide 5 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.This theme is Bloggerized by Lasantha Bandara - Premiumbloggertemplates.com.

Selasa, 17 Mei 2011

UNDAMPED SINGLE DEGREE OF FREEDOM SYSTEM

Dalam dinamika struktur, jumlah koordinat bebas (independent coordinates) diperlukan untuk menetapkan susunan atau posisi sistem pada setiap saat, yang berhubungan dengan jumlah derajat kebebasan (degree of fredom). Pada umumnya, struktur berkesinambungan (continuous structure) mempunyai jumlah derajat kebebasan (number of degrees of fredom) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi atau seleksi, sebuah model matematis yang tepat dapat mereduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu jumlah diskrit dan untuk beberapa keadaan dapat menjadi berderajat kebebasan tunggal. Pada gambar V.1. terlihat beberapa contoh struktur yang dapat dianggap sebagai struktur berderajat kebebasan satu (one degree of freedom) dalam analisis dinamis, yaitu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem dengan koordinat perpindahan tunggal (single displacement coordinate).



Gambar V.1. Contoh Struktur yang Dimodelisasikan sebagai Sistem Derajat Kebebasan Tunggal




Sistem derajat kebebasan tunggal ini dapat dijelaskan secara tepat dengan model matematis seperti pada Gambar V.2, dimana memiliki elemen-elemen sebagai berikut :
(1). Elemen massa (m), menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur.
 
(2). Elemen pegas (k), menyatakan gaya balik elastis (elastic restoring force) dan kapasitas energi potensial dari struktur.
(3). Elemen redaman (c), menyatakan sifat geseran dan kehilangan energi dari struktur.
(4). Gaya pengaruh (F(t)), menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem struktur.


Gambar V.2. Model Matematis Sistem Derajat Kebebasan Tunggal Teredam



Dengan mengambil model matematis pada gambar V.2, dianggap bahwa tiap elemen dalam sistem menyatakan satu sifat khusus, yaitu
(1). Massa (m), menyatakan sifat khusus inersia (property of inertia), bukan elastisitas atau kehilangan energi.
(2). Pegas (k), menyatakan elastisitas, bukan inersia atau kehilangan energi.
(3). Peredam (c), menyatakan kehilangan energi.

V.2. Sistem Tak Teredam (Undamped System)
Analisis sistem dasar yang sederhana dalam pembahasan dinamika struktur adalah sistem derajat kebebasan tunggal, dimana gaya geseran atau redaman diabaikan, dan sebagai tambahan, akan ditinjau sistem yang bebas dari gaya aksi gaya luar selama bergerak atau bergetar. Pada keadaan ini, sistem tersebut hanya dikendalikan oleh pengaruh atau kondisi yang dinamakan kondisi awal (initial conditions), yaitu perpindahan yang diberikan dalam kecepatan pada saat t=0, pada saat pembahasan dimulai. Sistem derajat kebebasan tunggal tak teredam sering dihubungkan dengan osilator sederhana tak teredam (simple undamped oscillator) yang selalu disajikan seperti gambar V.3 (a) dan V.3 (b) ataupun sebagai bentuk yang mirip dengan yang di atas.






Gambar V.3. Bentuk Alternatif Model Matematis Sistem Derajat Kebebasan Tunggal




Kedua gambar tersebut merupakan model matematis secara dinamis ekivalen dan hanya tergantung pada pilihan perorangan saja dalam penggunaannya. Pada model ini massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut garis lurus sepanjang satu sumber koordinat. Karakteristik mekanis dari pegas digambarkan antara besar gaya Fs yang bekerja pada ujung pegas dengan hasil perpindahan y seperti terlihat pada Gambar V.4 yang menunjukkan secara grafik dari tiga jenis pegas yang berbeda.








Gambar V.4. Hubungan gaya dan perpindahan (a). Pegas Kuat;
(b). Pegas Linear; (c). Pegas Lemah




Berdasarkan gambar V.4., karakteristik lengkungan (a) menyatakan sifat dari pegas kuat (hard spring), dimana gaya harus memberikan pengaruh lebih besar untuk suatu perpindahan yang disyaratkan seiring dengan terdeformasinya
pegas. Sedangkan, karakteristik lengkungan (b), menyatakan sifat pegas linear, karena deformasinya selaras (proportional) dengan gaya dan gambar grafisnya mempunyai karakteristik garis lurus. Konstanta keselarasan antara gaya dan perpindahan dari pegas linier disebus konstanta pegas (spring constant), yang biasa dinyatakan dengan “k”, sehingga persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya dan perpindahan pegas linier adalah sebagai berikut :
Fs = Ky  .........  (V.1)

Pegas dengan karakteristik lengkungan (c) pada gambar V.4 disebut pegas lemah, dimana pertambahan gaya untuk memperbesar perpindahan cenderung mengecil pada saat deformasi pegas menjadi makin besar.

V.3. Pegas dipasang Seri atau Paralel
Pemasangan konstanta pegas ekivalen dari suatu sistem dapat dilakukan melalui dua cara yaitu paralel (gambar V.5(a)) dan seri (gambar V.5(b))
 
Gambar V.5. Kombinasi Pegas (a). Pegas Paralel; (b) Pegas Seri

Untuk dua pegas paralel, gaya P yang diperlukan untuk membuat perpindahan pada satu sistem adalah sebesar perkalian antara perpindahan dengan jumlah kedua konstanta pegas tersebut, sehingga besar kekakuan pegas total adalah :
ke = k1 + k2...................... (V.2)
Atau secara umum, dapat dirumuskan sebagai berikut :
ke = ξ k.i...................... (V.3)
dimana : n adalah jumlah pegas yang dipasang paralel
Sedangkan, untuk dua pegas terpasang seri, gaya P menghasilkan perpindahan total y dari ujung bebas pada susunan pegas sebesar :
y = (P/k1) + (P/k2).............. (V.4)

Akibatnya, gaya yang diperlukan untuk membuat satu unit perpindahan (konstanta pegas ekivalen) diberikan oleh
ke = P / y.............. (V.5)

Dengan mensubstitusi y dari persamaan ini ke dalam persamaan V.4, maka didapatkan nilai kebalikan dari konstanta pegas :
1/ke = (1/k1) + (1/k2).............. (V.6)

Secara umum, konstanta pegas ekivalen yang terpasang seri
1/ke = ξ (1/ki).............. (V.7)
dimana : n adalah jumlah pegas terpasang seri.


V.4. Hukum Gerak Newton
Hubungan analitis antara perpindahan y dan waktu t, diberikan oleh Hukum Newton Kedua untuk gerak sebagai berikut :
F = m.a..................... (V.8)

dimana : F : gaya yang bekerja pada partikel massa m
a : resultan percepatan

Persamaan V.8 dapat ditulis dalam bentuk ekivalen, dimana besaran komponennya menurut sumbu koordinat x, y dan z, yaitu :
ξFx = max................. (V.9a)
ξFy = may.................. (V.9b)
ξFz = maz.................. (V.9c)

Percepatan didefinisikan sebagai turunan kedua vektor posisi terhadap waktu; yang berarti ketiga persamaan adalah persamaan differensial. Persamaan Hukum Newton dapat digunakan pada benda idealis seperti partikel yang bermassa tetapi tidak bervolume, tetapi juga dapat digunakan pada benda berdimensi yang bergerak. Benda kaku yang bergerak pada sebuah bidang adalah simetris terhadap bidang gerak (bidang x-z), sehingga mengakibatkan Hukum Newton perlu dimodifikasi menjadi :
ξFx = m(aG)x.................................... (V.10a)
ξFy = m(aG)y.................................... (V.10b)
ξMG = IG alfa.................................... (V.10c)




V.5. Diagram Free Body
Digram Free Body adalah suatu sketsa dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya, dimana semua gaya luar pada benda terlihat jelas. Pada Gambar V.6(b) Mengilustrasikan Diagram Free Body dari massa osilator (m) yang dipindahkan pada arah positif menurut koordinat y, yang memberikan gaya pada pegas sebesar Fs = Ky (asumsi pegas linier).

Gambar V.6. Diagram Free Body, (a). Sistem Derajat Kebebasan Tunggal; (b). Gaya-gaya Luar





Berat dari mg dan reaksi normal N dari permukaan penunjang diperlihatkan juga untuk pelengkap meskipun gaya-gaya ini bekerja pada arah vertikal dan tidak termasuk dalam persamaan gerak yang ditulis menurut arah y. Penggunaan Hukum Gerak Newton memberikan,
-ky = my ........(V.11)

Dimana gaya pegas bekerja pada arah negatif mempunyai tanda minus dan percepatan dinyatakan oleh y . Pada notasi ini, dua titik di atas menyatakan turunan kedua terhadap waktu dan satu titik menyatakan turunan pertama terhadap waktu, yaitu kecepatan.

V.6. Prinsip D’Alembert
Sebuah alternatif pendekatan untuk mendapatkan persamaan (V.11) adalah penggunaan Prinsip D’Alembert yang menyatakan bahwa sebuah sistem dapat dibuat dalam keadaan keseimbangan dinamis dengan menambahkan sebuah gaya fiktif pada gaya-gaya luar yang biasanya dikenal sebagai gaya inersia.

Gambar V.7. Diagram Free Body, (a). Sistem Derajat Kebebasan Tunggal; (b). Gaya-gaya Luar dan Inersia




Gambar V.7(b) memperlihatkan Diagram Free Body dengan gaya inersia yang sama dengan massa dikalikan percepatan dan selalu diberikan arah negatif terhadap koordinat yang bersangkutan. Penggunaan prinsip d’Alembert
memungkinkan pemakaian persamaan keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak. Pada Gambar V.7(b), jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan persamaan sebagai berikut :

my + ky = 0................................... (V.12)

CONTOH :
Tunjukkan bahwa persamaan differensial yang sama akan didapat gerak vertikal benda yang tergantung pada pegas dan benda yang sama bergetar sepanjang sumbu horisontal, seperti pada Gambar V.8(a) dan V.8(b). Diagram Free Body kedua osilator sederhana tersebut terlihat pada Gambar V.8(c) dan V.8(e) termasuk gaya inersianya.

Gambar V.8. Dua osilator sederhana dan diagram free body-nya

Berdasarkan gambar V.8, diperoleh persamaan :
Pada saat benda pada gambar V.8(d) dalam posisi seimbang statis, pegas tertarik sejauh yo unit dan mengakibatkan gaya kyo = W (berat benda) ke atas pada benda tersebut. Apabila benda berpindah sejauh y ke bawah dari posisi seimbang, maka besar gaya pegas diberikan oleh Fs = k(yo + y) atau Fs = W + ky, sebab kyo = W. Hasil ini dipakai pada benda Gambar V.8(e) dan Hukum Newton Kedua untuk gerak didapat :
 -(W + ky) + W = my